Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред

^ Внедрение уравнений в личных производных для моделирования движения газообразных и водянистых сред
Внедрение процедурных шумов стало новым словом в синематографе. Последующим шагом эволюции технологии уместно было ждать внедрение математического аппарата для более естественного моделирования. В Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред базе этого моделирования лежит отлично развитая теория гидродинамики, а именно, система уравнений Навье-Стокса.
^ Уравнения Навье-Стокса
Представим, что мы моделируем жидкость, как систему частиц. Любая частичка – это небольшой Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред шарик воды, который имеет массу m, объем V и скорость . Чтоб проинтегрировать систему вперед во времени, нужно описать деяния сил на каждую частичку. 2-ой закон Ньютона как раз гласит нам, как частички ускоряются и Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред откуда появляется движение:

,

где под ускорением понимается производная Лагранжа по скорости:



Разглядим, какие силы действуют на частички:

  1. В системе находится гравитация, т.е. на частичку действует сила тяжести.

  2. Области высочайшего давления давят на Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред области с низким давлением. Нас интересует общая сила, действующая на частичку, так как, к примеру, если давление по всем фронтам идиентично, то общая сила будет равна 0. По сути, важны только те Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред ситуации, когда с одной стороны частички давление больше, чем с другой. В данном случае частичка начинает двигаться в сторону, где давление ниже. Т.е. нас интересует изменение силы, которое проще всего посчитать, взяв Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред отрицательный градиент давления. Также нужно проинтегрировать по всему объему, что проще всего сделать домножив все выражение на V.

  3. Появляется еще одна сила из-за вязкости нашей воды. Вязкие воды пробуют Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред противостоять деформации. Эту силу можно рассматривать как некую силу, которая пробует вынудить частичку двигаться со средней скоростью окружающего потока, т.е. она пробует минимизировать разницу в скорости меж частицой и окрестными к ней частичками Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред. Дифференциальный оператор, который вычисляет как далеки значения в некой области – это лапласиан. Вот откуда возникает третье слагаемое в нашем уравнении. Дальше нам также нужно проинтегрировать по всему объему и домножить Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред на µ – динамический коэффцифиент вязкого трения.

Все это вытекает в последующую формулу:

,

Разделив обе части уравнения на , получим:



В конечном итоге, приходим к системе уравнений Навье-Стокса, записанной в общем виде:

, где f – суперпозиция Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред действующих на частичку сил.

, уравнение неразрывности

- число Рейнольдса — безразмерное соотношение, которое определяет стабильность системы.

В данной системе учавствуют последующие величины:

— вектор скорости,

t — время,

— коэффициент кинематической вязкости,

— соответствующая скорость,

ρ — плотность,

p — давление,

f — вектор Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред плотности массовых сил,

l — соответствующий размер

Если разглядеть одномерный случай, то легко убедиться, на сколько Re принципиальный параметр:

  1. в предельном случае, когда отсутствует диффузия (=0), то изменение скорости по полю скоростей Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред можно условно изобразить, как показано на рисунке.

Уравнение вырождается в

























Как видно из графиков, процесс симуляции стремительно ломается.

  1. в другом придельном случае, когда мы рассматриваем только диффузию и уравнение вырождается в .

























Такое уравнение Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред ведет себя стабильно.

  1. Это подталкивает нас к выводу, что для устойчивого моделирования нужна составляющая диффузии: .
























^ Способ Лагранжа
Способ Лагранжа (нареченный так по имени французского математика) – это способ, с которым, наверное, все отлично знакомы Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред. Он рассматривает место, как систему частиц. Любая точка воды либо твердого тела представляется, как отдельная частица со своими координатами и со собственной некой скоростью. Симуляция жестких тел всегда обычно делается по способу Лагранжа Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред, с дискретным набором частичек, которые агрессивно соединены в сеть. Численно, подход Лагранжа соответствует системе частиц (с либо без соединения меж самими частичками).
^ Способ Эйлера
Способ Эйлера (нареченный так по имени швейцарского Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред математика) употребляет подход, который обычно применяется для жидкостей. Заместо отслеживания каждой частицы, как в способе Лагранжа, мы смотрим за фиксированными точками в пространстве и смотрим, как величины, характеризующие жидкость (такие Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред, как плотность, скорость, температура и др.), измеренные в тех точках, меняются во времени. Численно, подход Эйлера соответствует использованию фиксированной сетки, которая не меняется в пространстве даже в то время, как жидкость протекает через нее Использование уравнений в частных производных для моделирования движения газообразных и жидких сред.


ispolzovanie-rekomendovannih-stavok.html
ispolzovanie-rezhima-stilevoj-zalivki.html
ispolzovanie-rezultatov-operativno-rozisknoj-deyatelnosti-v-obespechenii-ugolovnogo-sudoproizvodstva.html